层次分析法案例(层次分析法案例重庆的)

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层次分析法(AHP)是建模竞赛中最基本的模型之一、主要用于解决评价问题(例如,哪个方案最好,哪个运动员或员工更好)。

首先举个例子(仅作为举例说明,华科武大同学不喷):

比如小明高考结束,正在纠结选择华科还是武大。此时,我们可以分别对这两所学校进行评级:

比如小明是个学霸,想摆脱榜单,就给每个指标做了一个权重分配:

学习氛围(0.4)

就业前景(0.3)

男女比例(0.2)

校园风景(0.1)

括号里的值表示小明认为的重要性(权重),它们的和为1.

最后根据网上搜索,小明心里给华科和武大打了分。

指数权重

华科

吴语

学习氛围

0.4

0.7

0.3

职业前景

0.3

0.5

0.5

男女比例

0.2

0.3

0.7

校园景观

0.1

0.25

0.75

算一下华科最后的分数:0.515.

0.7 * 0.4 + 0.5 * 0.3 + 0.3 * 0.2 + 0.25 * 0.1

武大最终得分:0.485

0.3 * 0.4 + 0.5 * 0.3 + 0.7 * 0.2 + 0.75 * 0.1

根据最后的评分结果,小明选择了去华科。

综上所述:

用评分法解决评价问题,只需要补充一张完整的表格。

指数权重

方案一

选项2

指标一

指标2

索引三

索引四

其中,指标权重相加为1.同一指标下方案1和方案2的横向相加为1.详见刚才小明择校的例子。

一道例题来引出层次分析法

填完志愿,小明想去旅游。网上查了一下,暂定苏杭、北戴河、桂林为目的地。

现在请大家确定评价指标,形成评价体系,为小明确定最佳方案。

确定评价指标、形成评价体系之类的话,实际上就是评价问题。

要解决评价问题,我们首先需要考虑以下三个问题:

我们评价的目标是什么?我们为了达到这个目标有几种方案?评价的准则或者指标是什么?

我们很容易回答这个问题,

评价的目标是为小明选择最好的旅游景点;

有三个方案,分别是去苏杭、北戴河、桂林;

评价指标没有相关数据支持,需要我们自己查阅数据来确定。

假如我们在查阅相关资料后选择以下五个指标:

景点景色旅游花费居住环境饮食问题交通便利程度

此时,我们只需要确定每个指标的权重,然后将乘积加到总和上。

但是,确定每个指标的权重并不是那么容易的,因为每个指标的权重相对于个人的主观意愿来说,会具有片面性和非概括性。

这时候就需要一个科学的方式来确定各个指标的权重,就产生了分而治之的思想。

分而治之求得评价指标权重

问题:一次性考虑这五个指标之间的关系可能欠考虑。

解决方式:继续比较两个指数。这里我们一共需要比较C5 210次,最后根据比较结果计算重量。

假如用下表来表示每个指标的重要程度,请通过比较比较结果来确定每个指标的重要程度:

规模

意义

一个

这意味着这两个因素同等重要。

这意味着一个比另一个稍微重要一些。

这意味着一个因素显然比另一个更重要。

两个因素相比,一个比另一个重要。

与两个因素相比,一个比另一个更重要

2,4,6,8

以上两个判断的中值在xx到xx之间。

倒数

与B相比,假如尺度是3.那么B与a相比是1/3.

这里的重要也可以理解为满足。

此时,我们可以根据上面的重要性等级表完善下表:

风景

费用

活着

规定饮食

交通

风景

一个

费用

一个

活着

一个

规定饮食

一个

交通

一个

可以看到,主对角线都是1.说明风景和风景相比同样重要。例如,假如每个正方形都标记为,其中I代表水平轴,J代表垂直轴,这意味着与生活条件相比,成本非常重要。

这里还需要注意,在这个表中,假如主对角线以上有一个整数,那么主对角线以下有一个分数,关系X_{i,j}和X_{j,i}是倒数。

假设我们得到了完整的表单,结果如下:

风景

费用

活着

规定饮食

交通

风景

一个

2

费用

1/2

一个

活着

1/4

1/7

一个

2

规定饮食

1/3

1/5

1/2

一个

一个

交通

1/3

1/5

1/3

一个

一个

综上所述:上面那个代表一个5*5的方阵,我们将它记为A,对应的元素是a_{ij}。这个方阵具有以下特征:

a_{ij}表示的意义为,与j相比,i的重要程度当i = j时,两个指标同等重要,这也就解释了为什么主对角线元素等于1a_{ij}>0且a_{ij} * a_{ji} =1.我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵

实际上,上述矩阵甚至是AHP中的判断矩阵。

有了上面的判断矩阵,我们可以通过三种方式计算出各个指标的权重,就是下表的第二列:

指数

重量

泽维士

北戴河

桂林

风景

费用

活着

规定饮食

交通

这个指标的权重有三种计算方式,我们后面会介绍。

我们继续找第二个判断矩阵,每个景点相对于景色的判断矩阵,假设得到的结果如下:

风景

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

北戴河

1/2

一个

2

桂林

1/5

1/2

一个

同样,对于成本、居住、饮食、居住这四个指标,我们依次得到判断矩阵:

费用

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

北戴河

1/3

一个

桂林

1/8

1/3

一个

活着

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

一个

北戴河

一个

一个

桂林

1/3

1/3

一个

规定饮食

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

北戴河

1/3

一个

一个

桂林

1/4

一个

一个

交通

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

一个

北戴河

一个

一个

桂林

1/4

1/4

一个

但是这里还有一个问题。让我们看看下面的矩阵:

交通

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

层次分析法案例

一个

北戴河

1/2

一个

桂林

一个

1/4

一个

我们假设苏杭是A,北戴河是B,桂林是c。

根据上表,我们可以看出苏杭的交通比北戴河好,即A >: B

苏杭的交通和桂林一样好,也就是A = C。

北戴河的交通比桂林好,就是B >: C

此时,矛盾明显发生,当a_{12}变大时,矛盾更加严重。

一致矩阵:

交通

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

北戴河

1/2

一个

2

桂林

1/4

1/2

一个

和上面的矩阵一样,行列有多重关系的矩阵的正互反矩阵称为一致矩阵。

一致矩阵:

假如矩阵中的每个元素都相等,那么我们称这个矩阵为正互反矩阵。

在层次分析法中,我们构造的判断矩阵都是正互反矩阵。

假如正互反矩阵满足,我们称之为一致矩阵。

注:使用判断矩阵计算权重前,必须进行一致性检验。

一致矩阵的一个充要条件

引理:A是N阶方阵,r(A) = 1.则A的一个特征值为tr(A),其他特征值为0。

因为一致性矩阵的行是成比例的,所以一致性矩阵的秩必须是1.

根据引理,相容矩阵的一个特征值为n,其他特征值为0。

此外,我们很容易计算出特征值n对应的特征向量是

再来看另一个引理:当且仅当n阶正互反矩阵A是非均匀矩阵,且正互反矩阵A是非均匀矩阵时,必须满足。

判断矩阵越不一致,最大特征值与n之差越大。

当我们检查像一致性这样的判断矩阵时,完全一致性并不符合实际,所以我们只需要将不一致性保持在一个范围内。

一致性检验的步骤:

步骤1:计算一致性指数CI

步骤2:找到相应的平均一致性指数RI

n

0

一个

2

10

11

12

印度尼西亚

0

0

0.52

0.89

1.12

1.26

1.36

1.41

1.46

1.49

1.52

1.54

1.56

第三步:计算恒定比例CR:

假如Cr < 0.1.判断矩阵的一致性可以认为是可以接受的;否则,需要修改判断矩阵。

通过一致性检验的一致矩阵计算权重:

I .假设有以下一致矩阵:

风景

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

北戴河

1/2

一个

2

桂林

1/4

1/2

一个

要计算三个景点对于风景的权重,需要归一化。在这里,因为是一致矩阵,所以由哪一列计算的结果是相同的:

苏杭= 1/(1+0.5+1.25)

北戴河= 0.5/(1+0.5+1.25)

桂林= 0.25/(1+0.5+1.25)

第二、对于一个不一致的矩阵,即已经通过一致性检验的判断矩阵:

风景

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

北戴河

1/2

一个

2

桂林

1/5

1/2

一个

因为矩阵不一致,所以各列计算结果不一致是一定的。

第一种方式:算术平均法计算权重:首先按照列进行归一化,这样可以得到三组权重。根据相应的标签将三组权重相加并平均就很简单了。

然后通过算术平均方式获得权重向量

第二种方式:几何平均法计算权重。

步骤1:将A的元素乘以行,得到一个新的列向量。

步骤2:打开新类向量的每个分量的n次方。

第三步:归一化列向量,得到权重向量。

然后通过算术平均方式获得权重向量

算术平均重量

几何平均重量

泽维士

0.5949

0.5954

北戴河

0.2766

0.2764

桂林

0.1285

0.1283

可以看出算术平均和几何平均的权重差别不是很大,和也不是1.主要是四舍五入的原因。

方式:采用特征值法计算权重。

一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值为0

此外,我们很容易得到,当特征值为n时,对应的特征向量正好为0,即这个特征向量正好是相容矩阵的第一列。

风景

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

北戴河

1/2

一个

2

桂林

1/4

1/2

一个

重量必须标准化:

苏杭= 1/(1+0.5+1.25)

北戴河= 0.5/(1+0.5+1.25)

桂林= 0.25/(1+0.5+1.25)

对于一个通过一致性检验的判断矩阵我们也可以模仿这个过程来计算指标权重

第一步:求矩阵a的最大特征值对应的特征向量。

第二步:归一化得到的特征向量,得到我们的权重。

风景

泽维士

北戴河

桂林

泽维士

一个

2

北戴河

1/2

一个

2

桂林

1/5

1/2

一个

还是掂量一下三个景点的风景:

最大特征值为3.0055.一致性比CR=0.0053.对应的特征向量为:[-0.8902.-0.4132.-0.1918],归一化为:[0.5954.0.2764.0.1283]

算术平均重量

几何平均重量

特征值方式

泽维士

0.5949

0.5954

0.5954

北戴河

0.2766

0.2764

0.2764

桂林

0.1285

0.1283

0.1283

将结果汇总,得到权重矩阵。

指数

指数权重

泽维士

北戴河

桂林

风景

0.2636

0.5954

0.2764

0.1283

费用

0.4758

0.0819

0.2363

0.6817

活着

0.0538

0.4286

0.4286

0.1429

规定饮食

0.0981

0.6337

0.1919

0.1744

交通

0.1087

0.1667

0.1667

0.6667

据此,我们可以对苏杭、北戴河、桂林进行如下评分:

苏杭= 0.2636 * 0.5954+0.4758 * 0.0819+0.0538 * 0.4286+0.0981 * 0.6337+0.1087 * 0.1667 = 0.299

同样,可以计算出北戴河得分0.245.桂林得分0.455.所以最佳旅游景点是桂林。

层次分析法使用步骤:

第一步,分析系统中各因素之间的关系,建立系统的层次结构。

层次结构图层次结构图

第二步:将同一层次中的每个元素相对于上一层次中的一个准则的重要性进行比较,构造成两两比较矩阵(判断矩阵)。

就给自己这个判断矩阵。

第三步:检查第二步得到的判断矩阵的一致性,通过一致性检查的判断矩阵可以用来计算权重。

计算重量有三种方式:

算术平均法几何平均法特征值法(建模论文常用)

建议你同时用三种方式计算权重。为了保证结果的稳健性,本文采用三种方式计算权重,然后根据得到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,从而避免采用单一方式带来的偏差,得出更加全面有效的结论。

总结:以上就是小编对"层次分析法案例(层次分析法案例重庆的)"的详细解答,有需要办理POS机的小伙伴可以直接在本网站填写表单或者添加客服微信(poskefu05)进行免费领取,本网站支持办理新款的拉卡拉4G电签版POS机、拉卡拉4G大POS机、拉卡拉智能POS机等,如果大家在使用POS机的过程中遇到了任何问题,可以联系客服微信或者拨打4006689516售后电话解决问题!

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